| TATM03 | ANALYS D, 18 poäng /Calculus D/ För: D2 | |
| Utbildningsområde: Naturvetenskap Ämnesgrupp: Matematik | ||
| Fördjupningsnivå: B | ||
| Mål: Att ge de studerande sådan förtrogenhet med i kursen introducerade matematiska begrepp och samband att de med god säkerhet kan begagnas för matematiskt modellskapande inom fysik, kemi och teknik.Förkunskaper: Gymnasiets matematik (A-E) väl inhämtad.Organisation: Kursen är uppdelad i en inledande kurs och två delkurser. Undervisningen ges i form av föreläsningar, lektioner och seminarier.Kursinnehåll: Inledande kurs: se TATM 06. Del A Inledning: Logiska och mängdteoretiska begrepp och symboler. Talsystem, induktion. Reella tal. Mängder av reella tal. Supremum och infimum. Komplexa tal. Polynom. Funktioner av en reell variabel: Gränsvärden. Talföljder. Kontinuitet. Derivator, deriveringsregler. Monotona funktioner. Elementära funktioner. Bestämning av primitiva funktioner. Kontinuerliga funktioners egenskaper. Lokala extremvärden. Rolles sats och Lagranges medelvärdessats. Plana kurvor. Tangenter och asymptoter. Riemannintegralen: Definition, egenskaper, uppskattning. Samband mellan primitiv funktion och bestämd integral. Integrationsmetoder. Geometriska tillämpningar: Area, båglängd, rotationskroppars area och volym. Generaliserade integraler. Taylors formel, Maclaurin-utveckling av elementära funktioner med tillämpning på beräkning av gränsvärden, l'Hospitals regler. Ordinära differentialekvationer: Enkla första ordningens ekvationer. Linjära ekvationer av godtycklig ordning med konstanta koefficienter, några speciella ekvationer, bl a Bernoullis och Eulers, riktningsfält, ortogonaltrajektorier. Numeriska serier. Jämförelsesatser. Absolutkonvergens. Konvergenskriterier för serier och integraler. Del B Analysens grunder: Vektorrummet Rn. Topologiska grundbegrepp. Gräns värden av funktioner från Rn till R. Kontinuerliga funktioner. Satser om kontinuerliga funktioner på kompakta mängder. Vektorvärda funktioner. Funktioner av flera variabler: Partiella derivator. Gradienter, riktningsderivator och differentialer. Taylors formel. Maxima och minima. Funktionaldeterminanter. Extremvärden med bivillkor. Implicita funktioner. Variabeltransformationer. Dubbel- och multipelintegraler, variabelbyten. Geo metriska tillämpningar. Generaliserade multipelintegraler. Serier: Numeriska serier. Konvergens och absolutkonvergens. Jämförelse satser. Generaliserade integraler. Konvergenskriterier för serier och integraler. Funktionsföljder och funktionsserier. Likformig konvergens. Potensserier. Taylorserier. Fourierserier. Kursen skall ge färdighet i användning av begrepp och samband t ex färdighet i gränsvärdesberäkningar vid givna tal- och funktionsföljder; derivation och integration av vissa typer av funktioner med tillämpningar på geometriska problem; variabeltransformationer i derivator och integraler; behandling av integraler som är funktioner av parametrar; lösning av enkla första ordningens ordinära differentialekvationer samt ekvationer med konstanta koefficienter. Tillämpningar ges av matematiska modeller från fysik och teknik.Kurslitteratur: Gymnasiets läroböcker i naturvetenskapliga ämnen. Problemsamling och annat kompletterande material utgivet av institutionen. Persson, A: Analys i en variabel. Studentlitteratur, Lund 1981. Persson, A, Böiers, L-C: Analys i flera variabler. Studentlitteratur, Lund 1988. | ||
| TEN 0 | En skriftlig tentamen på den inledande kursen. | |
| TEN 1 | En kontrollskrivning och en skriftlig tentamen på del A. | |
| TEN 2 | En kontrollskrivning och en skriftlig tentamen på del B. | |